多项式族的分裂域

给定单个多项式，它的分裂域是它彻底分解为一次因式的最小扩张——你恰好添加足够的根，不多不少。对于一整族多项式，你同时做同样的事：构造一个最小的单一域，使该族中每个多项式都在其中分裂。它是大到足以一次性容纳所选全部多项式之全部根的最小舞台。

确切地说，给定 K 上的一组多项式 F，分裂域是 K 的扩张 L，使得每个 f 属于 F 都在 L 上分解为一次因式，且 L 由 F 中所有 f 的根在 K 上生成。对有限集，这与那个单一乘积的分裂域相同；对无限族，则添加所有成员的所有根。分裂域存在，且在 K 同构意义下唯一。

这一构造是正规扩张与伽罗瓦扩张的源头：一个有限扩张是正规的，恰当它是某个多项式的分裂域；而一族可分多项式的分裂域是一个伽罗瓦扩张，其群置换诸根。把这一族推到“K 上所有多项式”便得到代数闭包，所以分裂域在简单的添根与完整的代数闭包之间内插。