代数闭包

有些域是“漏”的：你可以写下一个多项式，它的根在这个域里根本找不到。一个域的代数闭包就是一次性堵住所有这种漏洞的结果——一个最小的扩张，在其中每个次数至少为一的多项式终于拥有了它的全部根。一旦置身闭包之中，没有任何多项式能逃过你。

确切地说，域 K 的代数闭包是 K 的一个代数扩张，且它是代数闭的，意即其中每个非常数多项式都完全分解为一次因式。每个域都有代数闭包，且在同构意义下唯一，所以我们说“那个”代数闭包，常记作 K 上加一横。

闭包只由代数元素——K 上多项式的根——构成，因此不添加任何超越数。复数对实数扮演这个角色：代数基本定理说 C 是代数闭的。但 C 并不是有理数的代数闭包；那个闭包是更小的全体代数数构成的域，它不含像 pi 这样的超越数。