代数闭域

代数闭域是这样一个地方：你能写下的每个多项式方程都已经有解——永远不必为了分解而发明新的数。复数是其原型：代数基本定理说每个具有复系数的非常数多项式都有复根。在这样的域中，多项式彻底分解为一次因式，再也没有非平凡的代数扩张可造。

确切地说，域 K 称为代数闭的，若 K[x] 中每个非常数多项式在 K 中至少有一个根。等价表述众多：每个 n 次多项式在 K 上裂成 n 个一次因式；唯一的不可约多项式就是一次的；并且 K 没有真代数扩张。因此代数闭域是代数扩张的终对象——在代数意义上你无法再往上走。

每个域 K 都嵌入某个代数闭域，而最小的那个（在非典范同构意义下唯一）就是它的代数闭包。代数闭域总是无限的，其结构仅由特征与超越次数决定：两个特征相同、在素域上超越次数相同且不可数的代数闭域是同构的。复数 C 是代数闭的，特征为 0。