可分闭包

在一个域的代数闭包内部，有些元素“性态良好”（可分），有些——在正特征下——则不然。可分闭包恰好收集了那些性态良好的元素：它是代数闭包中完全由可分元素构成的最大部分。在完美域上它与整个代数闭包重合，但在不完美域上它是一个严格更小的子域，也是伽罗瓦理论的天然舞台。

确切地说，固定 K 的一个代数闭包 K 的横线。可分闭包 K_sep 是 K 的横线中所有在 K 上可分的元素之集，即其极小多项式根互异者。它实际上是一个域，是 K 的横线在 K 上的极大可分子扩张；扩张 K_sep 在 K 上可分，而 K 的横线在 K_sep 上纯不可分。

可分闭包承载着 K 的绝对伽罗瓦群：自同构群 Gal(K_sep / K) 是一个有限射群，对它的研究是数论与伽罗瓦上同调的核心。在特征 0 或有限域上，可分闭包等于代数闭包，故那里看不出这个区别；它只在像 F_p(t) 这样的不完美域上才重要，那里 K 的横线真包含 K_sep。