不可分扩张

你遇到的大多数域扩张——任何在有理数或有限域之上的——都性态良好：每个元素都是某个根全互异的多项式的根。不可分扩张是病态的反面。它含有一个元素，其极小多项式有重根，使该元素无法干净地与它的“代数孪生”区分开来。这类扩张只生存于不完美域的正特征中，它们正是伽罗瓦理论需要可分性假设的原因。

确切地说，K 的代数扩张 L 不可分，是指 L 中某元素 a 在 K 上不可分，即其极小多项式不是可分多项式——它在代数闭包中有重根。在特征 p 下，这样的 a 的极小多项式总形如 g(x^(p^e))，其中 g 可分、e >= 1；纯不可分的情形是 a^(p^e) 落在 K 中而 a 不在。

不可分扩张行为古怪：嵌入代数闭包的方式数少于次数所暗示的数目，可分次数是全次数的真因子，且迹形式可能退化。标准例子是 F_p(t) 上的 F_p(t^(1/p))：尽管次数为 p，它到闭包的唯一 K 嵌入却是恒等映射。