嵌入代数闭包

当你拿到一个抽象的域扩张时，把它种入一个一切早已分裂的大型环境域——代数闭包——会很有帮助。嵌入正是这样一种种植：把扩张忠实地置入闭包之中的方法。数清做这件事的不同方式有多少，正是伽罗瓦理论衡量一个扩张对称“大小”的途径。

形式地说，固定 K 的一个代数闭包 K-bar。对代数扩张 L/K，L 到 K-bar 的一个 K-嵌入是一个单的域同态 L -> K-bar，它在 K 上限制为恒等。域之间的域同态自动是单射，而 K 到一个代数闭域的任何嵌入都能延拓到任何代数扩张 L——其存在性最终依赖于佐恩引理。所有这种嵌入的像就是 L 在 K-bar 内的共轭域。

有限扩张 L 到 K-bar 的不同 K-嵌入的个数是可分次数 [L : K]_s，它至多为 [L : K]，等号恰在 L/K 可分时成立。当 L/K 进一步正规（故在可分情形下是伽罗瓦的）时，每个嵌入都落在 L 自身之中，于是这些嵌入恰为自同构，其个数等于 |Gal(L/K)| = [L : K]。因此嵌入把可分性、正规性以及伽罗瓦群的阶这些概念统一成一条计数原理。