有限域

你遇到的大多数域——有理数、实数、复数——都有无穷多个元素。有限域是一个只有有限多个元素的完整数系，但你仍然可以像预期那样进行加、减、乘、除（除了不能除以零）。最简单的例子是以一个素数为小时数的钟表算术。

确切地说，有限域是元素个数有限的域。一个出色的分类成立：元素个数总是某个素数幂 p^n，对每个这样的幂恰好存在一个有限域，且任意两个大小相同的有限域都同构。具有 p^n 个元素的域记作 GF(p^n) 或 F(p^n)——其中 GF 是为纪念伽罗瓦。

最小的有限域是整数模素数 p，其中算术在 p 处循环。更大的、大小为 p^n（n > 1）的有限域，则作为这些域的扩域来构造。有限域不只是趣味摆设：它们支撑着纠错码、密码学以及大量的数字通信。