正则表示

正则表示是群在端详自己：取群代数——群元素的形式线性组合——让群以左乘作用其上。它是最重要的单个表示，因为它暗中一次性容纳了群的每一个不可约表示，且各自出现的次数恰等于其维数。

正式地，设 G 为有限群，k 为域。（左）正则表示是以 G 的元素为基的向量空间 k[G]，其中 g 的作用把基向量 h 送到基向量 gh，再线性延拓。其次数为 |G|。其特征标 chi_reg 颇具戏剧性：chi_reg(e) = |G|，而对每个不等于恒等元的 g 有 chi_reg(g) = 0，因为以非恒等元左乘不固定任何基向量，故迹为零。

在特征不整除 |G| 的代数闭域上，马施克与舒尔结合给出分解 k[G] = 对各不可约表示 V_i 取直和，每个 V_i 出现 (dim V_i) 份。取维数即重得平方和恒等式 sum (dim V_i)^2 = |G|。于是正则表示是一只“万能容器”：分解它等价于列出全部不可约表示，且重数等于维数。