群代数

群告诉你如何把它的元素相乘，但你不能把它们相加。群代数补上了这一点：它允许你用选定环中的系数作群元素的形式和，于是 2g - 3h 成为合法对象。乘法把群自身的运算分配到这些和上加以延拓。一举之间，群的纯组合便成为一个你可在其中做线性代数的完整的环。

确切地说，给定环 R 与群 G，群代数 R[G] 是以 G 的元素为基的自由 R-模，配以由群法则决定的乘法：(sum a_g * g) 乘 (sum b_h * h) 等于对 g、h 求和的 sum a_g * b_h * (g*h)。它可交换当且仅当 G 是阿贝尔群且 R 可交换。当 R = k 为域且 G 有限时，这是一个维数为 |G| 的 k-代数。

全部要点在于：G 的 R-线性表示恰与 R[G]-模是同一份数据：同态 G -> GL(V) 唯一地延拓为环同态 R[G] -> End(V)。所以表示论变成单个环上的模论，而 R[G] 的结构支配表示如何分解。马施克定理说 k[G] 半单恰当 char(k) 不整除 |G|。

超出有限群后，此构造仍有用但更微妙。对无限群，R[G] 用有限支撑的和；诸如 C[G] 是否有零因子（卡普兰斯基猜想）这类问题既深且部分未决。完备群代数或拓扑群代数等变体驱动调和分析以及紧群与李群的表示论。