马施克定理

马施克定理是让有限群表示论如此良好的结构基石：在合适的域上，你绝不会被卡在某个有不变子空间却拒绝分裂出去的表示上。一切都能分解。证明思想是一个动人的平均技巧：取任一补，再在群上平均，把它抹成一个不变补。

确切表述：设 G 为有限群，k 为特征不整除 |G| 的域（例如任何特征 0 的域，或适当特征的有限域）。则 G 在 k 上的每个有限维表示都完全可约——等价地，每个 G 不变子空间都有 G 不变补，又等价地，群代数 k[G] 是半单环。

关于特征的假设是本质的，绝非点缀。若 char(k) = p 整除 |G|，则平均算子 (1/|G|) sum rho(g) 无法构造（要除以零），半单性确实失效：这正是通往模表示论的门户，那里表示有真正不可分裂的扩张，干净的直和图景就此崩塌。