平凡表示

平凡表示是最简单不过的：群什么也不做。每个元素在一维空间上都作为恒等映射。它似乎乏味到不值一提，但它在表示的算术中扮演数字 1 的角色——它是张量积的乘法单位，也是一切群不变量的归宿。

确切地，G 在域 k 上的平凡表示是一维空间 k，作用为对每个 g 属于 G 都有 rho(g) = 1（恒等标量）。其特征标是常值函数 chi(g) = 1，并且自动不可约，因为一维空间没有非零真子空间。在同构意义下平凡表示恰有一个，且对每个群都存在。

其重要性是结构性的。任一表示 V 中被整个 G 固定的向量子空间——不变量 V^G——与平凡表示在 V 中的重数相同，可由内积 (chi_V, chi_trivial) 算出。平凡表示也是表示张量积的单位对象：V 张量 (平凡) 自然同构于 V。