群作用
把群想成一堆对称——立方体的旋转、一副牌的重新洗牌——再把集合想成被这些对称挪动的东西。群作用就是“这个群在重排那个集合”这句话的严格说法。每个群元素都变成对集合的一种置换，群元素相乘对应置换的复合，于是群的结构被忠实地体现在集合被打乱的方式里。
确切地说，群 G 在集合 X 上的作用是从 G 到 X 上所有双射构成的对称群 Sym(X) 的一个同态。等价地，它是一个映射 G x X -> X，记作 (g, x) -> g·x，满足对单位元 e 有 e·x = x，且对所有 g, h 属于 G 有 g·(h·x) = (gh)·x。第二个条件正是使得对应 g -> (x -> g·x) 成为同态而非仅仅一个映射的关键。
作用是抽象群与具体组合学或几何之间的桥梁。一个作用的两个基本不变量——它的轨道（哪些点可以从哪些点到达）和它的稳定子（哪些元素固定某个点）——几乎决定了一切，而轨道-稳定子定理把它们联系起来。当同态 G -> Sym(X) 单射时称作用是忠实的，此时不同的群元素确实作用不同；许多结构定理都从构造一个忠实作用入手。
一个提醒：同一个群可以以本质上不同的方式作用在同一个集合上，这些是不同的作用，而非对同一事物的不同描述。例如 Z/4Z 既可以作为一个 4-循环作用在四个点上，也可以平凡地作用（每个元素固定每个点）；两者都满足公理。研究的对象是作用本身，而不只是群。
S_3 通过置换标号作用在集合 {1, 2, 3} 上：对换 (1 2) 把 1 送到 2、2 送到 1，并固定 3。该作用是忠实的，因为固定全部三个点的置换只有恒等，故此处同态 S_3 -> Sym({1,2,3}) 是同构。
S_3 在三个字母上的定义作用。
左作用与右作用在复合规则上不同：左作用满足 g·(h·x) = (gh)·x，而右作用满足 (x·g)·h = x·(gh)。任何右作用都可经由 g·x := x·g^{-1} 变为左作用，故选择基本是约定，但若不声明地混用会导致复合次序上的错误。