轨道-稳定子定理

任何群作用中都有一个干净的权衡：固定一个点的对称越多，这个点能去的地方越少；点移动得越自由，把它固定住的元素就越少。轨道-稳定子定理把这个权衡精确化——轨道的大小与稳定子的大小相乘恰好等于群的大小。

确切地说，对群 G 在集合 X 上的作用与任一点 x，轨道 G·x 与左陪集集合 G/Stab(x) 之间存在双射，由 g·x <-> g·Stab(x) 给出。于是 |G·x| = [G : Stab(x)]，即稳定子的指数。当 G 有限时这读作 |G| = |G·x| · |Stab(x)|，故轨道长度与稳定子的阶都整除 |G|。

这一个等式支撑着大量有限群论。它是拉格朗日定理（让 G 作用在陪集上）、类方程（让 G 通过共轭作用在自身上）以及 Burnside 计数引理背后的引擎。一种实用的读法：要求一条轨道的大小，无需把它列出——只需算出有多少群元素固定某一点，再用 |G| 除以这个数。