表示的张量积

给定同一个群的两个表示，你可以把它们组合成其空间张量积上的一个新表示，让群同时作用在两个因子上。这种表示的“乘法”赋予表示之集一种类环结构：可以相加（直和）也可以相乘（张量），而特征标把这个乘积变成函数的逐点普通乘法。

设 (V, rho) 与 (W, sigma) 是 G 在 k 上的表示。它们的张量积是空间 V 张量 W，带对角作用 g.(v 张量 w) = rho(g)v 张量 sigma(g)w，再线性延拓——同一个元素 g 同时作用在两条腿上。这确实是 G 的表示（而非 G 乘 G 的），其维数为 dim(V) 乘 dim(W)。其特征标是特征标之积：chi_{V 张量 W}(g) = chi_V(g) 乘 chi_W(g)。

即便因子都不可约，张量积也很少不可约：把 V 张量 W 分解为不可约表示就是克莱布什-戈尔丹问题，在物理与李群表示论中居于核心。特征标公式使记账可行——重数即乘积特征标与各不可约特征标的内积。特例包括 V 的对称平方与外平方，即 V 张量 V 在交换下的 G 不变子空间。