多重线性代数与张量代数
对称代数
对称代数是让各因子可交换之后的张量代数——它把抽象向量变成普通的可交换变量。一旦顺序不再要紧，向量的乘积就完全像单项式那样表现，整个结构成为建立在向量空间上的无坐标多项式环。它是该空间上的自由交换代数。
给定 R-模 V，对称代数 S(V) 是张量代数 T(V) 对由一切 v ⊗ w − w ⊗ v 生成的双边理想所作的商。诱导出的乘积可交换，且 S(V) = ⊕_{k≥0} S^k(V) 是分次的，S^k(V) 为对称 k-张量——Λ^k(V) 的对称类比。它满足万有性质：任何到交换 R-代数 A 的 R-线性映射 V -> A 都唯一地延拓为代数同态 S(V) -> A。
若 V 自由、秩为 n、带基 x_1, ..., x_n，则 S(V) ≅ R[x_1, ..., x_n]，n 元多项式环，且 dim S^k(V) = C(n + k − 1, k) 计数 k 次单项式。于是对称代数是多项式的内在、无基化身，其各分次块容纳对称多重线性形式。
对 dim V = 2、带基 x, y：S^2(V) 以 x^2, xy, y^2 为基（维 3 = C(3, 2)），且 S(V) ≅ R[x, y]。对比 Λ^2(V) 仅一维，由 x ∧ y 张成。
对称平方由单项式张成；外平方由单一楔积张成。
在特征 0 的域上有干净的分裂 V ⊗ V ≅ S^2(V) ⊕ Λ^2(V)，其中 dim S^2 = n(n+1)/2、dim Λ^2 = n(n−1)/2，相加为 n^2。在特征 2 中此分解失效，对称张量与交错张量不再干净地分裂。
另见