多重线性代数与张量代数
分次代数
分次代数是按『次数』分层归类的代数，其构造使乘法在记账意义上尊重各层——把一个 p 次的东西乘以一个 q 次的东西，你总落在 p + q 次。按总次数分次的多项式是日常的例子：二次乘三次总是五次。
形式地说，R 上的 N-分次代数 A 是带直和分解 A = ⊕_{d≥0} A_d 的 R-代数，各 A_d 为 R-子模（d 次齐次分量），满足 1 ∈ A_0 且对一切 p, q 有 A_p · A_q ⊆ A_{p+q}。单个 A_d 中的元素称为 d 次齐次元。可以按 Z、按阿贝尔群、或——对超代数——按 Z/2Z 分次；在每种情形中，乘法下次数的可加性都是定义性公理。
分次是本学科核心构造背后的组织原则：张量代数 T(V)、外代数 Λ(V) 与对称代数 S(V) 都按张量次数分次，多项式环 R[x_1, ..., x_n] 按总次数分次。分次还驱动希尔伯特级数、射影几何（齐次坐标环），以及分次交换代数的符号律——对次数为 p、q 的齐次元 a、b 有 ab = (−1)^{pq} ba。
R[x, y] 按总次数分次：A_0 = R（常数），A_1 = span{x, y}，A_2 = span{x^2, xy, y^2}，dim A_d = d + 1。一个 1 次元与一个 2 次元之积 x·y^2 落在 3 次，正如分次所要求。
多项式环是典型的分次代数；次数在乘法下相加。
分次理想（齐次理想）是由齐次元生成的理想；对这种理想取商会继承分次，这正是为何 Λ(V) 与 S(V)——T(V) 对齐次理想的商——本身是分次的。对非齐次理想取商一般会破坏分次。
另见