坐标环

如果说簇是一个形状,那么它的坐标环就是你能在该形状上做的一切多项式“测量”的总和。两个在簇的每一点上都相等的多项式是同一种测量,因此坐标环就是把这种冗余商掉后的多项式环。它把全部几何打包进单一的代数对象。

确切地说,对 A^n 中的仿射簇 X,坐标环是 k[X] = k[x_1, ..., x_n] / I(X),其中 I(X) 是在 X 上恒为零的全部多项式构成的理想。其元素是 X 上的正则(多项式)函数,而在代数闭域上,由零点定理,其极大理想与 X 的点一一对应。这是代数-几何字典的核心:簇之间的态射 X 到 Y 反变地对应于 k-代数同态 k[Y] 到 k[X]。

环的性质从簇的几何中读出。k[X] 约化(无非零幂零元)恰因 I(X) 是根理想;它是整环恰当 X 不可约;其克鲁尔维数等于 X 的维数。一个有限生成的约化 k-代数与仿射簇是同一份资料——这一抽象由后来的仿射概形观点通过舍弃约化性假设而最终完成。