簇的态射

若簇是代数几何的对象,态射就是它们之间允许的运动:尊重多项式结构的映射。正如连续映射是拓扑空间之间、线性映射是向量空间之间的正确映射,态射是“代数几何能看见的”映射。

从簇 X 到簇 Y 的态射,是底空间之间对扎里斯基拓扑连续、并把正则函数拉回为正则函数的映射:对 Y 中每个开集 V 与 V 上每个正则函数 g,g 与该映射的复合在其原像上正则。对仿射簇这很具体——X 到 A^m 的态射不过是 X 上的 m 元正则函数组,而 X 到 A^m 中之 Y 的态射就是落在 Y 内的这样一组。

深刻之处是与代数的等价。在固定域上,把簇送往其坐标环给出仿射簇与有限生成约化 k-代数之间的反变等价,而态射 X 到 Y 恰对应于 k-代数同态 k[Y] 到 k[X]。具有双侧逆态射的态射是同构,与坐标环的同构相对应;须注意双射态射未必是同构,如弗罗贝尼乌斯映射与尖点三次曲线的正规化所示。