有理映射

有理映射是一种允许在少数坏点处出岔子的态射。正如函数 1/x 在除原点外处处良好,有理映射由多项式之比给出,只在分母不为零的开集上有定义。我们容忍这一点,因为这类映射刻画了双有理几何,而后者把簇分类到“小手术”的程度。

形式上,在不可约簇上,从 X 到 Y 的有理映射是诸对 (U, f) 的等价类,其中 U 是 X 的非空(从而稠密)开子集,f 是态射 U 到 Y,两对在重叠处相等时视为同一。由于 X 不可约,这些可黏合成一个极大定义域,其补集是不确定点轨迹。人们用虚线箭头 X 到 Y 表明该映射可能在某处无定义。

有理映射未必可复合,因为前者的像可能整个落入后者的不确定点中;但占优有理映射(像稠密者)确可复合。占优有理映射 X 到 Y 诱导函数域之间的域同态 k(Y) 到 k(X),并且这是个等价:占优有理映射对应于函数域的 k-嵌入。双有理映射——具有有理逆的有理映射——对应于函数域的同构,这是双有理几何的中心等价关系。