不可约簇

一对相交的直线其实是粘在一点的两块独立部分;一个光滑的圆则是一块不可分的整体。不可约性把这一直觉精确化:不可约簇是不能被诚实地拆成两个更小闭部分的簇。它是“单一事物”的几何概念。

形式上,一个非空拓扑空间(或簇)称为不可约,若它不是两个真闭子集之并,等价地若它的每个非空开子集都稠密,又等价地若任意两个非空开集都相交。对仿射簇 X,这是其代数的性质:X 不可约当且仅当其理想 I(X) 是素理想,等价地其坐标环 k[X] 是整环。

每个簇都本质唯一地分解。在诺特空间中——而簇是诺特的——任何闭集都是有限多个不可约闭集之并,删去多余者后,这张不可约分支的清单是唯一的。于是不可约簇是不可分的原子,而一般的簇由有限多个原子黏合而成;这是理想的准素分解在几何上的对应物。