一般点

当数学家说“过两点的一般直线”或“一般多项式”时,他们指的是没有特殊偶然重合的那一个。概形理论把这一民间说法字面化:它向空间真的添上一个点——一般点——它不位于任何特殊位置,其性质恰好是几乎所有普通点共有的性质。

形式上,拓扑空间中闭包为整个空间的点,称为该空间的一般点。不可约概形有唯一的一般点。在整环 R 的谱 Spec R 中,它是零理想 (0),即唯一的极小素理想;其闭包是整个空间,其局部环是簇的函数域。更一般地,概形的每个不可约闭子集各有其唯一的一般点,即该子集的极小素理想。

一般点是使单独一点承载整个稠密开集行为的装置。在一般点处成立的性质,在某非空开邻域上成立——“一般地”成立——这正是经典短语的严格内涵。这便是为何概形论的陈述能用关于一个精选点的干净断言,取代繁琐的“除有限多个外都成立”的论证。