概形

概形之于代数几何,犹如流形之于微分几何:一个由简单局部卡黏合而成的全局对象。这里的卡是交换环的素谱,把它们黏合起来,就能一举在任意环上做几何——在整数上、在有限域上,乃至在带幂零元、编码无穷小增厚的环上。

确切地说,概形是一个局部环化空间 (X, O_X),它作为局部环化空间局部同构于某交换环的谱 Spec R 连同其结构层。仿射概形 Spec R 是局部模型;一般概形由若干开集覆盖,每个同构于一个仿射概形,而结构层记录正则函数,其茎是局部环。

概形极大地扩张了经典理论。它们容许幂零元,故“重点” Spec k[x]/(x^2) 是一个真正的非约化对象,记住了一个切方向;它们有一般点,使不可约性一目了然;它们支持纤维积、基变更与干净的点函子。簇重新作为域上约化、分离、有限型的概形出现,故经典的一切毫无损失,却获益无穷——这正是现代算术几何与代数几何赖以书写的框架。