仿射簇

想象平面上的一条曲线,比如圆 x^2 + y^2 = 1。它是一个多项式方程的解集。仿射簇正是把这个想法推到极致:取任意一组多元多项式,考察它们同时为零的所有点。几何(形状)与代数(方程)成为同一对象的两种视角。

确切地说,固定一个域 k,考虑 k 上的仿射 n 维空间 A^n。对 k[x_1, ..., x_n] 中的一组多项式 S,仿射簇 V(S) 是 A^n 中使得每个 f in S 都满足 f(a) = 0 的点 a 的集合。由希尔伯特基定理,任何这样的 S 都包含在一个有限生成理想中,因此有限多个多项式就足以切割出 V(S)。许多作者把“簇”一词保留给不可约情形,而把一般对象称为仿射代数集。

关于基域有一点需要注意。在代数闭域上,零点定理使簇与根理想之间的字典完全严密,于是这些点真正“看见”了全部代数。但在像实数这样的非闭域上,方程 x^2 + 1 = 0 的点集为空,理想却非平凡;概形观点正是为修补这类不匹配而引入的。