仿射空间

仿射空间是代数几何的空白画布:仅仅是坐标元组,既没有被特别标出的原点,也没有强加的内积。它是绘制仿射簇的环境舞台,是普通坐标空间在代数几何中的对应物。

作为点集,域 k 上的仿射 n 维空间 A^n 就是 n 元组 (a_1, ..., a_n) 构成的集合 k^n。使其几何化的是附加结构:它带有扎里斯基拓扑,其多项式函数环为 k[x_1, ..., x_n]。当 k 非代数闭时,人们通常仍把 A^n 视为一个函子,其在扩张 K 上的点是 K^n,于是 Q 上的 A^1 已经“知道”代数数。

有一处微妙之处把仿射空间与向量空间区分开来。作为抽象代数簇,A^n 没有指定的零向量,也没有内置的线性结构;人们可以自由地把原点平移到任意处。在概形语言中,A^n 成为多项式环的 Spec,其点不仅包含经典的元组,还包含对应于较低素理想的一般点。