扎里斯基拓扑

通常的拓扑用小球来度量邻近。扎里斯基拓扑用多项式来度量邻近:闭集是由方程刻画出的集合,而开集是其补集,在那里至少允许一个多项式取非零值。所得拓扑非常粗糙,精确地为代数而非分析量身定制。

在仿射 n 维空间上,闭集恰好是理想 I 的零点集 V(I);容易验证它们对任意交与有限并封闭,因而构成某拓扑的闭集。在交换环 R 的素谱 Spec R 上,同样的配方奏效:闭集为 V(I) = { 包含 I 的素理想 p },从而在素理想集上给出一个拓扑。两幅图景在经典点上一致,并把这一概念推广到所有环。

以分析的标准看,扎里斯基拓扑很古怪。它几乎从不是豪斯多夫的——在仿射直线上,任意两个非空开集都相交,因为它们各自只略去有限多个点。不可约簇恰好是那些不能拆成两个真闭子片的空间,而不可约空间的非空开子集是稠密的且仍不可约。这些特性并非缺陷;它们编码了使代数几何得以运作的刚性。