零点集

取一些多项式,问它们何处同时为零:那个轨迹就是零点集。它是代数几何中最基本的运算——把一列方程变成几何图形的桥梁——而每个仿射簇都以此方式产生。

给定 k[x_1, ..., x_n] 中的一组多项式 S,其零点集为 V(S) = { a in A^n : 对所有 f in S 都有 f(a) = 0 }。只有 S 生成的理想要紧,故 V(S) = V((S)),增删已是代数推论的多项式不改变任何东西。映射 V 反转包含关系:方程越多,切出的轨迹越小。

零点集恰好是扎里斯基拓扑的闭集,这便是 V 为何是代数-几何对应中几何那一半的原因。在素谱 Spec R 上,同样的记号 V(I) 指包含 I 的素理想之集,在极大理想上还原经典零点轨迹,同时把它推广到所有素理想。须记住不同的理想可以共享同一零点集;V 只探测它们的公共根。