素谱

格罗滕迪克的革命性想法是:把任意交换环都当作某个空间上的函数环来对待,再从环本身制造出那个空间。这个空间的点不只是经典的解点,而是所有素理想,这使该构造对每个交换环都奏效,即便环带幂零元或根本没有经典点。

对交换环 R,素谱 Spec R 是 R 的全部素理想之集,配以扎里斯基拓扑,其闭集为 V(I) = { 包含理想 I 的素理想 p }。极大理想是闭点,在代数闭域上对应于簇的经典点;非极大的素理想是额外的一般点,它们把空间“增肥”,以记住不可约子簇。

Spec 是一个反变函子:环同态 R 到 S 通过拉回素理想诱导连续映射 Spec S 到 Spec R,因为素理想的原像是素理想。连同其结构层,Spec R 成为局部环化空间,即附属于 R 的仿射概形,而这些仿射片是黏合成一般概形的积木。这正是“环即空间上的函数”这一说法的精确含义。