极大理想

在一个环的所有真理想之中，极大理想是“大到不能再大”却仍不等于整个环的那种——你无法在它和 R 之间塞进任何更大的真理想。它正好位于真理想格的顶端。

确切地说，带单位元的交换环 R 的一个真理想 M 是极大的，如果唯一包含 M 的理想只有 M 本身和 R。其定义性的代数收益是 R/M 是一个域：把极大理想压缩为零得到的是最干净的商，其中每个非零元素都可逆。这正是“极大理想是你可以代入函数并得到一个数的那些点”这一格言的来源。

在带 1 的环中极大理想总是存在：由佐恩引理，每个真理想都包含于某个极大理想中。它们恰好是 Spec(R) 的闭点；在代数几何的零点定理中，代数闭域上多项式环的极大理想与仿射空间的点一一对应。