雅各布森根

雅各布森根是环中“对所有单模不可见”的那一部分——在每个最简单的表示上都作用为零的元素。它衡量一个环离半单有多远，把环中最退化的行为打包进一个可以商掉的理想里。

对环 R，雅各布森根 J(R) 定义为 R 的所有极大左理想之交。值得注意的是，它等于所有极大右理想之交，故 J(R) 是双边理想。等价描述有：它是消灭每个单左 R-模的全体元素之集；它也是使得对一切 a、b 属于 R 都有 1 − a·x·b 为单位的那些 x 之集。在交换环中，它就是所有极大理想之交。

雅各布森根的威力来自中山引理：若 M 是有限生成模且 J(R)·M = M，则 M = 0。模掉 J(R) 总能得到一个根为零的环（“雅各布森半单”环）。雅各布森根包含幂零根以及每个幂零理想；对阿廷环而言，两种根重合，且 J(R) 幂零——这正是通往阿廷–韦德伯恩结构理论的入口。