交换代数
诣零根
环中某些元素在某种意义下无限地小：把它们升到足够高的幂就坍缩为零。这样的幂零元是几何的代数幽灵——它们记录着干净的几何图像看不见的「增厚」或模糊。诣零根把所有这些幽灵打包进一个理想之中，恰好度量一个环离没有此类模糊还有多远。
对交换环 R，诣零根 Nil(R) 是所有幂零元构成的集合：即满足 a^n = 0（对某个正整数 n）的元素 a。这个集合是一个理想，而一个优美的事实是它等于 R 的所有素理想之交。当一个环的诣零根为零，即没有非零幂零元时，称它为既约环。商环 R/Nil(R) 总是既约的；从几何上看，过渡到它就忘掉了无穷小增厚，只记住底层的点集。
等式 Nil(R) = 所有素理想之交 正是问题的核心：a 是幂零元当且仅当 a 落在每一个素理想中。要小心它与雅各布森根（所有极大理想之交）的对比——二者对许多环重合但一般而言不同，并且诣零根总是包含在雅各布森根之中。
在 Z/8Z 中，幂零元是 0, 2, 4, 6（因为 2^3 = 8 = 0），故诣零根为 (2) = {0, 2, 4, 6}。在 Z/12Z 中，由于 6^2 = 36 = 0，诣零根为 (6) = {0, 6}。
两个小型有限环的诣零根。
诣零根就是零理想的根：Nil(R) = sqrt((0))。更一般地，任意理想 I 的根是 Nil(R/I) 的原像。
又称
另见