理想的根

如果说理想是一组「为零的规则」，那么它的根就是忘掉了重数的同一规则。理想 (x^2) 要求 x 二阶为零；它的根 (x) 只要求 x 为零即可。取根剥去了无穷小的增厚，只保留底层的条件集——这恰是几何所能看见的信息。

给定交换环 R 的理想 I，其根 sqrt(I) 是所有满足「某个正整数次幂 a^n 落在 I 中」的元素 a 之集合。它仍是一个理想，包含 I，且连取两次根不改变结果：sqrt(sqrt(I)) = sqrt(I)。与自身的根相等的理想称为根理想。I 的根也可内蕴地描述为：包含 I 的所有素理想之交。

零理想的根就是诣零根。素理想自动是根理想，但根理想未必是素理想——k[x, y] 中的 (xy) 是根理想（它等于 sqrt((xy))），却不是素理想，因为它是两个素理想 (x) 与 (y) 之交。在代数闭域上的零点定理下，根理想恰好是那些作为某个代数集的完整理想而出现的理想。