准素分解

整数唯一地分解为素数幂；理想也很想做到同样的事。准素分解就是把理想分解成「类似素数幂」的部件的理想论类比，正如把 12 写成 4 · 3 = 2^2 · 3——它把一个理想拆成称为准素理想的片段，每个片段聚焦于单一的素理想。这正是一个复杂的子簇被分解为其不可约分量连同其周围嵌入模糊的方式。

准素理想 Q 是指：R/Q 中的每个零因子都是幂零元；等价地，若 ab 落在 Q 中，则 a 落在 Q 中或 b 的某个幂落在 Q 中。准素理想的根是素理想，称为它的相伴素理想，此时称 Q 为「P-准素」。拉斯克－诺特定理断言：在诺特环中每个理想 I 都是有限多个准素理想之交 I = Q_1 ∩ ... ∩ Q_r，并且可取此分解为极小的（无冗余，且相伴素理想互不相同）。

唯一性是微妙而仅部分成立的。相伴素理想之集由 I 唯一确定，且属于极小（孤立）素理想的准素分量是唯一的。但属于嵌入素理想——真包含另一个相伴素理想的素理想——的分量并不唯一。经典例子 (x^2, xy) = (x) ∩ (x^2, xy, y^2) = (x) ∩ (x^2, y) 给出两个不同的极小分解，它们共享嵌入素理想 (x, y)。