交换代数
零点定理
Nullstellensatz——德文意为「零点定理」——是使代数与几何成为同一事物两面的桥梁。在代数一侧你有多项式的理想；在几何一侧你有这些多项式取零的集合。定理说这两个世界完美地相互映照：关于形状的问题化为关于理想的问题，反之亦然，毫无信息损失，前提是你在一个代数闭域上工作。
设 k 是代数闭域。弱零点定理说 k[x_1, ..., x_n] 的每个极大理想都形如 (x_1 - a_1, ..., x_n - a_n)，对应某点 (a_1, ..., a_n)，故一组没有公共零点的多项式必生成整个环（即 1 落在该理想中）。强零点定理说：若多项式 f 在理想 I 的公共零点集 V(I) 上处处为零，则 f 的某个幂 f^m 落在 I 中；等价地 I(V(I)) = sqrt(I)。于是根理想与仿射代数集之间存在一个反包含的双射对应。
k 为代数闭域这一假设至关重要：在实数上，x^2 + 1 没有零点却生成 R[x] 的一个真理想，破坏了弱形式。强形式中根的出现正是为什么根理想（而非任意理想）才是正确的几何对象——许多理想可以定义同一个零点集，而几何只看见它们共同的根。
在 C 上，C[x, y] 中的理想 (x) 与 (x^2) 有相同的零点集，即直线 x = 0。强零点定理调和了这一点：sqrt((x^2)) = (x)，故几何只看见根。
两个理想，一个零点集，由根来调和。
它建立的字典——根理想对应代数集，素理想对应不可约集，极大理想对应点——是经典代数几何的起点，也是环谱概念的动机。
又称
另见