局部环

局部环是恰好只有一个极大理想的环——它只有一个“东西消失之处”。从几何上看，它刻画函数在某一点的无穷小邻域中的行为，这正是为什么局部化与局部环是逐点研究几何的代数语言。

带单位元的交换环 R 称为局部的，如果它有唯一的极大理想 m。一个极其有用的等价判据是：R 是局部的当且仅当它的非单位元构成一个理想，而该理想必然就是 m。因此在局部环中，每个元素要么是单位，要么落在 m 里——毫无歧义，这使得中山引理和许多下降论证得以干净地运作。

局部环主要通过局部化产生：把任一环在素理想 P 处局部化，便得到一个局部环，其极大理想对应于 P。剩余域 R/m 捕捉“在该点的取值”，而 m 及其幂记录更高阶的无穷小信息。正则局部环、离散赋值环与完备化都是这一观念的精细化，对代数几何与数论至关重要。