局部化

局部化是合法地引入分母的泛方式。你有一个环，选定你希望可逆的某些元素，局部化便构造出包含你的环的最小环，在其中恰好这些元素变成了单位。它推广了从整数 Z 到有理数 Q 的飞跃——那里你把一切都求逆；一般情形下你只把选定的乘性族求逆，得到一个为你想要除以的对象量身定制的环。

设 R 是交换环，S 是乘性子集：1 在 S 中且 S 对乘法封闭。局部化 S^{-1}R 是分式 a/s（a 在 R 中，s 在 S 中）的集合，等价关系为 a/s = b/t 当且仅当存在 u 在 S 中使 u(at - bs) = 0，配以显然的加法与乘法。存在典范环同态 R -> S^{-1}R，a -> a/1，且它是泛的：任何把 S 映为单位的从 R 出发的环同态都唯一地经由 S^{-1}R 分解。

两个特例占主导。取 S = R \ p（p 为素理想）给出在素理想处的局部化，是局部环。取 S = {1, f, f^2, ...}（单个元素 f）给出 R_f = R[1/f]，即 f 不为零的开集上的函数。局部化是模上的正合函子，与商及理想的有限交可交换，并且是平坦的——使它成为本学科中最温和、最有用的运算之一。告诫：局部化可能使对象坍缩——若 0 落在 S 中，整个环就变成零环。