分式域

你从整数 Z 构造有理数 Q 的方式——允许自己除以任何非零数——对任何整环都适用。分式域恰好就是这个构造：它是给定整环能嵌入其中的最小的域，通过引入元素的形式商 a/b 而成。

给定整环 R，考虑满足 a、b 属于 R 且 b ≠ 0 的有序对 (a, b)，并规定当 a·d = b·c 时 (a, b) ~ (c, d)——这正是说 1/2 = 2/4 的那条交叉相乘法则。这些等价类记作 a/b，在通常的加法 a/b + c/d = (a·d + b·c)/(b·d) 与乘法下构成一个域 Frac(R)。映射 a ↦ a/1 把 R 嵌入 Frac(R)，而 Frac(R) 恰好由 R 中元素之比组成。

这一构造有一个干净的泛性质：从 R 到任一域 K 的任何单射环同态都唯一地经由 Frac(R) 分解。它是局部化的特例——把每个非零元素都求逆。整性是本质的：这套办法需要没有零因子，否则一个分母可能把某个非零元素乘成零，使等价关系崩溃。对一般的交换环，则改为求逆某个乘性集合，得到的是局部化而非域。