在素理想处的局部化

几何是局部的：要理解一条曲线在某点附近的样子，你放大该点而无视别处发生的一切。在素理想处局部化就是代数的变焦镜头。你取一个素理想 p——把它想成一个点——并使每个在该点不为零的函数都可逆，于是只有该环在无穷靠近这单一点处的行为得以存留。结果是一个局部环，恰有一个极大理想：就是你所聚焦的那个点。

给定交换环 R 的素理想 p，其补集 S = R \ p 是一个乘性集（a, b 不在 p 中蕴涵 ab 不在 p 中，正因为 p 是素理想）。局部化 R_p 是分式环 S^{-1}R，由形如 a/s 的形式分式构成，其中 a 在 R 中而 s 不在 p 中。理想 pR_p 是 R_p 唯一的极大理想，故 R_p 是局部环，其剩余域 R_p / pR_p 是 R/p 的分式域。

在素理想处局部化是正合且性质良好的：R_p 的素理想与 R 中含于 p 的素理想一一对应，所以它「只记住位于 p 之下者」。诚实的告诫是这并非有限——作为形式分式的集合，R_p 通常比 R 大得多——但它是逐茎论证的正确工具，因为诸如「为零」或「序列正合」这类性质可以在每个素理想处局部地检验。