素理想的高度

如果说克鲁尔维数数的是整个环里素理想塔能有多高，那么单个素理想的高度数的是你能在该素理想之下往下挖多深。从几何上看，一个素理想对应一个不可约子簇，其高度就是余维数——你为把这个子簇从周围空间中截出而施加了多少个独立条件。三维空间中的一个点高度为 3；其中的一张曲面高度为 1。

交换环 R 中素理想 p 的高度是从 p 下降的素理想链 p_0 ⊊ p_1 ⊊ ... ⊊ p_n = p 之长度的上确界。等价地，它是局部化 R_p 的克鲁尔维数。极小素理想的高度为 0；在整环中零理想是唯一的极小素理想，高度为 0。

高度与维数相互配合却未必干净地相加。对素理想 p，总有 height(p) + dim(R/p) <= dim(R)，对域上有限生成且为整环的代数取等号（这些环是「链式的」，性质良好）。在病态的环中等号可能不成立，甚至高度本身可以无穷，所以干净的余维数直观只在几何的、有限生成的情形下才有保证。