簇的维数

点是零维,曲线是一维,曲面是二维——对于光滑例子,我们关于维数的直觉是清楚的。代数几何必须纯代数地定义维数,使其在任意域上、在奇点处,乃至对没有实图像的概形都有意义。

所选的定义是坐标环的克鲁尔维数:k[X] 中严格递增素理想链 p_0 ⊂ p_1 ⊂ ... ⊂ p_n 的长度 n 的上确界。几何上这数的是最长的嵌套不可约子簇链,因为素理想对应于不可约闭集。对不可约簇,它等于函数域(即 k[X] 的分式域)在 k 上的超越次数。

对于良好的(有限型、不可约)簇,若干其他度量彼此一致:维数等于任一不可约子簇极大链的长度(此环是连环的),且在光滑点处等于切空间的向量空间维数。在奇点处切空间可能严格更大,这给出光滑性的一个干净判据。维数在不可约分支上是局部的,而可约簇取其各分支之最大值。