超越次数

如果说扩张的次数计数向量空间的维数，那么超越次数计数的是某种更粗糙也更本质的东西：一个扩张暗中含有多少个独立的自由变元。它无视所有代数的“精细结构”，只报告真正超越方向的数目。一个 37 次的代数扩张与基域的超越次数都是 0；三变量的有理函数域的超越次数是 3。

确切地说，扩张 L 在 K 上的超越次数，记作 trdeg_K(L)，是 L 在 K 上任意超越基的基数。它有定义，因为所有超越基有相同的基数，证明用一个交换论证，仿照向量空间维数良定义的证明。超越次数为 0 恰好意味着 L 在 K 上代数。

超越次数在塔中可加：对 K 包含于 M 包含于 L，有 trdeg_K(L) = trdeg_K(M) + trdeg_M(L)，这是乘法塔定理的对数版表亲。它是簇的几何维数背后的代数骨架：一个不可约簇的维数等于其函数域在基域上的超越次数。