扩张的次数

坐落在较小域 K 之上的扩张域 L 可被视为一个向量空间：你能把 L 的元素相加，并用 K 中的数对它们做数乘。扩张的次数恰好在问这个向量空间有多少个方向——它的维数。次数为 2 意味着 L 的每个元素都由 K 上两个坐标刻画；次数为 6 则是六个。它是一个度量 L 比 K 大多少的单一数字。

形式上，次数 [L : K] 是 L 作为 K 向量空间的维数 dim_K(L)。当此维数有限时，称该扩张为该次数的有限扩张；当它无限时，扩张是无限的。对于单代数扩张 K(a)，其次数等于 a 在 K 上极小多项式的次数，所以添加一个不可约三次式的根给出次数 3。

次数掌控着几乎一切后续：它有限当且仅当 L 是有限维的、因而是代数的扩张；它沿塔相乘；而对伽罗瓦扩张，它等于伽罗瓦群的阶。超越扩张总有无限次数，因为添加一个自由变元已经产生了无限维空间 K(t)。