塔定理

假设你分两步往上构造域：从 K 到中间域 M，再从 M 到更大的域 L。塔定理说总次数就是两步次数的乘积。若第一步把规模翻倍，第二步再翻三倍，整段攀登就把它乘以六。逐层叠加域扩张的行为恰如维数相乘，这与你的直觉相符：连续做两次扩大会把它们复合起来。

形式上，对于域 K 包含于 M 包含于 L，有 [L : K] = [L : M] 乘 [M : K]，包括任一因子无限的情形。证明很具体：若 {a_i} 是 L 的一组 M 基，{b_j} 是 M 的一组 K 基，则乘积 {a_i b_j} 构成 L 的一组 K 基，于是维数恰好相乘。

这一个恒等式是域论中最常用的工具之一。它迫使次数为 [L:K] 的扩张的任意中间域 M 的次数整除 [L : K]，从而立刻排除了，比如，一个次数为 3 的扩张中存在次数为 2 的子域。它是尺规作图不可能性证明背后的引擎，也支撑着伽罗瓦理论的大部分内容。