可作图数

古希腊人只用两件工具构筑几何：一把无刻度的直尺和一副圆规。从相距一个单位的两点出发，你可以画直线与圆、标出它们的交点，从而造出新的点。可作图数就是你能借此达到的任何长度。令人惊讶的是，这个纯几何游戏竟有一个精确的代数刻画，而这个刻画解决了希腊人无法解决的著名难题。

确切地说，一个实数可作图，当且仅当它能由有理数经过有限次加、减、乘、除与开平方得到——因为直线与圆的相交只解线性与二次方程。从代数上说，a 可作图当且仅当它落在一座塔 Q = K_0 包含 K_1 包含 ... 包含 K_n 顶端的域中，且每个 [K_{i+1} : K_i] = 2。特别地，每个可作图数在 Q 上都是次数为 2 的某次幂的代数数。

这个次数障碍立刻解决了三个古典的不可能性。倍立方需要 2^(1/3)，次数为 3，不是 2 的幂。三等分一般角需要一个不可约三次式的根。化圆为方需要 pi，它超越，因而根本不是代数数。正 n 边形的可作图性（高斯-万策尔定理）归结为相应的分圆次数是否为 2 的幂。