代数数

设想所有你能通过写下一个整系数（等价地有理系数）多项式方程、并说“这个数是它的一个解”而确定下来的数。根号 2 就是其一：它满足 x^2 - 2 = 0。黄金比例、虚数单位 i、5 的立方根——全都被这样一张网捕获。代数数恰好就是被某张这种网捕获的数；逃脱了每一张这种网的数，称为超越数。

精确地说，一个复数 a 称为代数数，如果存在一个非零的有理系数多项式 f 使得 f(a) = 0。等价地也可要求整系数，因为去分母不改变什么。每个代数数在有理数上都有唯一一个次数最低的首一多项式与之满足，称为它的极小多项式；该多项式的次数称为这个代数数的次数。

全体代数数构成一个域：代数数的和、积与逆仍是代数数，且这个域就是有理数在复数中的代数闭包。它是可数的，因此“大多数”复数是超越数——然而要证明像 pi 或 e 这样的具体数是超越数却很难。有理数恰好就是次数为一的代数数。