数域

从普通的有理数出发，添入一个或几个代数数——比如根号 2，或一个单位根——然后对四则运算取封闭。你便得到一个小巧自足的数的世界，它仍坐落于复数之内，却比有理数丰富得多。当只添入了有限多新材料时，这个世界就是一个数域。

精确地说，数域 K 是有理数 Q 的一个有限次域扩张：[K : Q] 是一个有限数 n，意指 K 是 Q 上的 n 维向量空间。每个数域都由单个代数数生成（本原元定理），故 K = Q(a)，其中代数数 a 的极小多项式次数为 n。数域是超越普通整数进行算术运算的天然舞台。

数域携带丰富的结构：一个整数环，扮演 Z 在 Q 中的角色；一个有限的理想类群，度量唯一分解失败的程度；一个判别式；以及一族到复数中的嵌入。整套代数数论的机器都是为了逐素数地研究这些域而建立的。