整数环

在有理数内部，“整数”恰好就是整数集 Z。在更大的数域内部，我们想要类似的概念：那些是诚实整数而非分数的元素。正确的答案是：恰好保留域中那些为代数整数的数。这个集合是一个环，是该域中一切算术的基石。

形式地说，对数域 K，整数环 O_K 是 Z 在 K 中的整闭包：即 K 中满足某个整系数首一多项式的元素之集。它是秩为 n = [K : Q] 的自由 Z-模，因而有一组由 n 个元素构成的整基，其分式域为 K。环 O_K 扮演着 Z 对 Q 所扮演的结构性角色。

使 O_K 强大的是：它是一个戴德金整环：即便单个元素无法唯一分解，每个非零理想仍唯一地分解为素理想之积。于是数的唯一分解之丧失在更高一层——理想的层面——得到修复，而其间的偏差由理想类群度量。