整基

向量空间有基：一小列向量，由它们经标量组合可造出每个元素。数域的整数环理应享有同样有限、刚性的坐标系——但只许用整数系数，而非任意标量。整基恰是这样一种坐标系，让我们把域中每个代数整数用一组唯一的普通整数写出。

设 K 是 n 次数域。整基是 O_K 中一组元素 b_1, ..., b_n，使得 O_K 的每个元素都唯一地写成 Z-线性组合 m_1 b_1 + ... + m_n b_n，其中 m_i 属于 Z。这样的基存在，因为 O_K 是秩为 n 的自由 Z-模；等价地，这些 b_i 既是 K 的 Q-基，又在 Z 上生成 O_K。

不同的整基之间相差一个 GL(n, Z) 中的矩阵，故迹形式的行列式 det([Tr(b_i b_j)]) 与选取无关——它就是 K 的判别式。求整基可能很微妙：它并不总是某个生成元 a 的 {1, a, a^2, ..., a^{n-1}}，恰恰在 O_K 严格大于 Z[a] 时不是。