代数数论
数域的判别式
数域在几何上是坐落于实或复空间中的一个整数格，如同任何格一样，它有体积以及“拉伸”程度的概念。判别式是单个整数，它打包了这一几何数据，并且非凡地同时记录下恰好哪些素数分歧。它是数域的算术指纹。
设 O_K 有整基 b_1, ..., b_n，并设 s_1, ..., s_n 是 K 到 C 的 n 个嵌入。判别式为 d_K = det([s_j(b_i)])^2，即嵌入作用于基所成矩阵的行列式之平方。它是与所选基无关的整数，等于迹形式矩阵 [Tr(b_i b_j)] 的行列式。其绝对值是 O_K 作为格的余体积之平方。
判别式的素因子恰好就是在 K 中分歧的素数（戴德金判别定理），故一个素数分歧当且仅当它整除 d_K。闵可夫斯基定理迫使 |d_K| 随次数增长，由此推出 Q 是唯一判别式绝对值为 1 的数域，且只有有限多个判别式有界的数域。
对 Q(sqrt(d))（d 无平方因子），判别式为：若 d ≡ 1 (mod 4) 则为 d，否则为 4d。故 Q(sqrt(5)) 的判别式为 5，而 Q(sqrt(2)) 的判别式为 8，Q(sqrt(-1)) 的判别式为 -4。
2 整除 Q(sqrt(2)) 与 Q(sqrt(-1)) 的判别式而不整除 Q(sqrt(5)) 的判别式，恰恰反映出 2 在前两者中分歧而在第三者中不分歧。
另见