分歧

当你从有理数上升到更大的数域时，一个素数 p 不再是素的，而碎裂成若干块。通常它碎成互异的简单块。但有时某块以重复的幂次出现，就像重根坍缩一样——这个素数便“分歧”了。分歧就是素数在扩张中获得重数的现象，且它只在有限多个素数处发生。

具体地说，设 K 是数域，整数环为 O_K，p 为一个有理素数。在 O_K 中理想 (p) 分解为素理想之积 P_1^{e_1} * ... * P_g^{e_g}。指数 e_i 是 P_i 在 p 上的分歧指数。若某个 e_i 超过 1，则称 p 在 K 中分歧；否则称 p 非分歧。更一般地，可谈论基域的素理想在任意扩张中的分歧。

分歧的素数恰好就是整除 K 判别式的那些，故分歧由单个整数不变量所控制。p 之上每个素理想还携带剩余次数 f_i = [O_K / P_i : Z / p]，并有基本恒等式 sum of e_i f_i = [K : Q]（对伽罗瓦扩张，所有 e_i 相等且所有 f_i 相等）。分歧支配着素数如何与域的几何及伽罗瓦理论相互作用。