素数分裂

像 5 这样的普通素数在整数中是素的，但一旦进入更大的数域，它可能不再是素的：它可以碎裂成几个新素数，可以顽固地保持完整，也可以带着重数坍缩。理解对每个有理素数与每个域究竟发生哪种情形，是本学科核心的计算与理论任务之一。

设 K 是 n 次数域，整数环为 O_K，p 为一个有理素数。理想 (p) 分解为互异素理想之积 P_1^{e_1} * ... * P_g^{e_g}，其分歧指数为 e_i、剩余次数为 f_i = [O_K / P_i : F_p]，满足基本恒等式 sum of e_i f_i = n。三种纯粹行为各有其名：当有 n 个互异素理想且每个皆 e = f = 1 时，称 p（完全）分裂；当 (p) 仍为素理想（g = 1，f = n）时，称 p 惯性；当某个 e_i > 1 时，称 p 分歧。

当 O_K = Z[a] 且 m(x) 是 a 的极小多项式时，(p) 的分解映照着 m(x) 模 p 的分解（库默尔-戴德金定理），对除整除指标的有限多个素数外的一切素数成立。在伽罗瓦扩张中，分裂由弗罗贝尼乌斯元支配；对阿贝尔扩张，则由同余条件支配——这正是类域论的种子。